Numpy, часть 1: начало работы

Содержание

Вычисления

Вычисления пределов

Для вычисления пределов в SymPy предусмотрен очень простой синтаксис, а именно . Например, если вы хотите вычислить предел функции , где , то надо написать .


sym.limit(sym.sin(x) / x, x, 0) # результат 1

Также можно вычислять пределы, которые стремятся к бесконечности.

sym.limit(x, x, sym.oo) # результат oo
sym.limit(1 / x, x, sym.oo) # результат 0
sym.limit(x ** x, x, 0) # результат 1

Дифференцирование

Для дифференцирования выражений в есть функция . Ниже даны примеры ее работы.

sym.diff(sym.sin(x), x) # результат cos(𝑥)
sym.diff(sym.sin(2 * x), x) # результат 2cos(2𝑥)
sym.diff(sym.tan(x), x)

Проверим результат последней функции при помощи определения производной через предел.

sym.limit((sym.tan(x + y) - sym.tan(x)) / y, y, 0)

Результат тот же.

Также при помощи этой же функции могут быть вычислены производные более высоких порядков. Синтаксис функции будет следующим: . Ниже приведено несколько примеров.

sym.diff(sym.sin(2 * x), x, 1) # результат 2cos(2𝑥)
sym.diff(sym.sin(2 * x), x, 2) # результат −4sin(2𝑥)
sym.diff(sym.sin(2 * x), x, 3) # результат −8cos(2𝑥)

Разложение в ряд

Для разложения выражения в ряд Тейлора используется следующий синтаксис: .

sym.series(sym.cos(x), x)
sym.series(1/sym.cos(x), x)

Интегрирование

В SymPy реализована поддержка определенных и неопределенных интегралов при помощи функции . Интегрировать можно элементарные, трансцендентные и специальные функции. Интегрирование осуществляется с помощью расширенного алгоритма Риша-Нормана. Также используются различные эвристики и шаблоны. Вот примеры интегрирования элементарных функций:

sym.integrate(sym.sin(x), x) # результат −cos(𝑥)
sym.integrate(sym.log(x), x) # результат 𝑥log(𝑥)−𝑥

Также несложно посчитать интеграл и от специальных функций. Возьмем, например, функцию Гаусса:

sym.integrate(sym.exp(-x ** 2) * sym.erf(x), x)

Результат вычисления можете посмотреть сами. Вот примеры вычисления определенных интегралов.

sym.integrate(x**3, (x, -1, 1)) # результат 0
sym.integrate(sym.sin(x), (x, 0, sym.pi / 2)) # результат 1
sym.integrate(sym.cos(x), (x, -sym.pi / 2, sym.pi / 2)) 
# результат 2

Также можно вычислять определенные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы).

sym.integrate(sym.exp(-x), (x, 0, sym.oo)) # результат 1

Решение уравнений

При помощи можно решать алгебраические уравнения с одной или несколькими переменными. Для этого используется функция .

sym.solveset(x ** 4 - 1, x) # результат {−1,1,−𝑖,𝑖}

Как можно заметить, первое выражение функции приравнивается к и решается относительно . Также возможно решать некоторые уравнения с трансцендентными функциями.

sym.solveset(sym.exp(x) + 1, x) # результат {𝑖(2𝑛𝜋+𝜋)|𝑛∈ℤ}

Системы линейных уравнений

способна решать широкий класс полиномиальных уравнений. Также при помощи данной библиотеки можно решать и системы уравнений. При этом переменные, относительно которых должна быть разрешена система, передаются в виде кортежа во втором аргументе функции , которая используется для таких задач.

solution = sym.solve((x + 5 * y - 2, -3 * x + 6 * y - 15), (x, y))
solution, solution # результат (-3, 1) 

Факторизация

Другим мощным методом исследования полиномиальных уравнений является факторизация многочленов (то есть представление многочлена в виде произведения многочленов меньших степеней). Для этого в предусмотрена функция , которая способна производить факторизацию очень широкого класса полиномов.

f = x ** 4 - 3 * x ** 2 + 1
sym.factor(f)
sym.factor(f, modulus=5)

Булевы уравнения

Также в реализована возможность решения булевых уравнений, что по сути означает проверку булевого выражения на истинность. Для этого используется функция .

sym.satisfiable(x & y) # результат {x: True, y: True}

Данный результат говорит нам о том, что выражение будет истинным тогда и только тогда, когда и истинны. Если выражение не может быть истинным ни при каких значениях переменных, то функция вернет результат .

sym.satisfiable(x & ~x) # результат False

Изменение размера изображения в Pillow resize()

Можно изменить длину и ширину изображения при помощи метода . В данном примере будут показаны три примера изменения размера:

  • Изменение размера изображения имея ширину и высоту;
  • Изменение ширины с учетом пропорций для высоты;
  • Изменение высоты пропорционально ширине.

Изменение размера изображения имея ширину и высоту

Python

from PIL import Image

# Меняем размер изображения на новый. tatras = Image.open(«tatras.jpg») tatras = tatras.resize((100, 100), Image.ANTIALIAS)

1 2 3 4 5

fromPIL importImage

  # Меняем размер изображения на новый.

tatras=Image.open(«tatras.jpg»)

tatras=tatras.resize((100,100),Image.ANTIALIAS)

Изменение ширины с учетом пропорций для новой высоты изображения

Python

from PIL import Image

tatras = Image.open(«tatras.jpg»)

new_width = 680 # ширина new_height = int(new_width * height / width)

tatras = tatras.resize((new_width, new_height), Image.ANTIALIAS) tatras.show()

1 2 3 4 5 6 7 8 9

fromPIL importImage

tatras=Image.open(«tatras.jpg»)


new_width=680# ширина

new_height=int(new_width*heightwidth)

tatras=tatras.resize((new_width,new_height),Image.ANTIALIAS)

tatras.show()

Изменение высоты изображения, пропорционально обновляем и ширину

Python

from PIL import Image

tatras = Image.open(«tatras.jpg»)

new_height = 680 # Высота new_width = int(new_height * width / height)

tatras = tatras.resize((new_width, new_height), Image.ANTIALIAS) tatras.show()

1 2 3 4 5 6 7 8 9

fromPIL importImage

tatras=Image.open(«tatras.jpg»)

new_height=680# Высота

new_width=int(new_height*widthheight)

tatras=tatras.resize((new_width,new_height),Image.ANTIALIAS)

tatras.show()

Заключение

С пакетом Pillow вы можете сделать гораздо больше, чем описано в этой короткой статье. Pillow поддерживает преобразования и улучшение изображений, возможность печати фото и многое другое. Я настоятельно рекомендую прочитать документацию Pillow, чтобы получить полное представление обо всем, что вы можете сделать.

Использование фильтров в Pillow

Оригинальное изображение с медузой

Pillow позволяет использовать множество различных фильтров для обработки изображения. Они являются частью модуля ImageFilter. Давайте рассмотрим несколько примеров использования метода :

Python

from PIL import ImageFilter from PIL import Image

image = Image.open(‘jelly.jpg’) blurred_jelly = image.filter(ImageFilter.BLUR) blurred_jelly.save(‘/path/to/photos/blurry_jelly.png’)

1 2 3 4 5 6

fromPIL importImageFilter

fromPIL importImage

image=Image.open(‘jelly.jpg’)

blurred_jelly=image.filter(ImageFilter.BLUR)

blurred_jelly.save(‘/path/to/photos/blurry_jelly.png’)

Программа берет определенное изображение, создает на его основе размытую картинку, используя , и сохраняет полученный результат на диск с помощью метода . Итоговое фото со слегка размытой медузой:

Размытая картинка с медузой

Однако в подобающем большинстве случаев размывать изображение нет нужды, наоборот — требуется увеличить резкость. Pillow меняет резкость картинки следующим образом:

Python

from PIL import ImageFilter from PIL import Image

image = Image.open(‘/path/to/photos/jelly.jpg’) blurred_jelly = image.filter(ImageFilter.SHARPEN) blurred_jelly.save(‘/path/to/photos/sharper_jelly.png’)

1 2 3 4 5 6

fromPIL importImageFilter

fromPIL importImage

image=Image.open(‘/path/to/photos/jelly.jpg’)

blurred_jelly=image.filter(ImageFilter.SHARPEN)

blurred_jelly.save(‘/path/to/photos/sharper_jelly.png’)

Результат после запуска кода выше:

Картинка с медузой после применения фильтра резкости

Кроме того, для увеличения резкости фотографий в Python можно использовать модуль ImageEnhance.

Можно использовать и другие фильтры — , , , и так далее. В коде для одного изображения также можно одновременно использовать несколько фильтров.

Для сравнения эффектов от использования фильтров можете скачать изображения, которые были представлены в примерах выше.

Конвертирование из JPG в PNG пример Pillow

В Python Pillow метод позволяет конвертировать изображение в другой формат.

Python

from PIL import Image import sys

try: tatras = Image.open(«tatras.jpg») except IOError: print(«Unable to load image») sys.exit(1)

tatras.save(‘tatras.png’, ‘png’)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fromPIL importImage

importsys


try

tatras=Image.open(«tatras.jpg»)

exceptIOError

print(«Unable to load image»)

sys.exit(1)

tatras.save(‘tatras.png’,’png’)

Программа считывает изображение JPG и конвертирует его в PNG формат. Это делает в следующей строчке:

Python

tatras.save(‘tatras.png’, ‘png’)

1 tatras.save(‘tatras.png’,’png’)

Второй параметр метода нужен для уточнения итогового формата изображения.

Python NumPy

NumPy IntroNumPy Getting StartedNumPy Creating ArraysNumPy Array IndexingNumPy Array SlicingNumPy Data TypesNumPy Copy vs ViewNumPy Array ShapeNumPy Array ReshapeNumPy Array IteratingNumPy Array JoinNumPy Array SplitNumPy Array SearchNumPy Array SortNumPy Array FilterNumPy Random Random Intro Data Distribution Random Permutation Seaborn Module Normal Distribution Binomial Distribution Poisson Distribution Uniform Distribution Logistic Distribution Multinomial Distribution Exponential Distribution Chi Square Distribution Rayleigh Distribution Pareto Distribution Zipf Distribution

NumPy ufunc ufunc Intro ufunc Create Function ufunc Simple Arithmetic ufunc Rounding Decimals ufunc Logs ufunc Summations ufunc Products ufunc Differences ufunc Finding LCM ufunc Finding GCD ufunc Trigonometric ufunc Hyperbolic ufunc Set Operations

Python NumPy

NumPy IntroNumPy Getting StartedNumPy Creating ArraysNumPy Array IndexingNumPy Array SlicingNumPy Data TypesNumPy Copy vs ViewNumPy Array ShapeNumPy Array ReshapeNumPy Array IteratingNumPy Array JoinNumPy Array SplitNumPy Array SearchNumPy Array SortNumPy Array FilterNumPy Random Random Intro Data Distribution Random Permutation Seaborn Module Normal Distribution Binomial Distribution Poisson Distribution Uniform Distribution Logistic Distribution Multinomial Distribution Exponential Distribution Chi Square Distribution Rayleigh Distribution Pareto Distribution Zipf Distribution

NumPy ufunc ufunc Intro ufunc Create Function ufunc Simple Arithmetic ufunc Rounding Decimals ufunc Logs ufunc Summations ufunc Products ufunc Differences ufunc Finding LCM ufunc Finding GCD ufunc Trigonometric ufunc Hyperbolic ufunc Set Operations

Функции[править]

Тригонометрическиеправить

In 1]: sin(x+y).expand(trig=True)
Out1]: cos(x)*sin(y) + cos(y)*sin(x)

In 2]: cos(x+y).expand(trig=True)
Out2]: cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)

In 3]: sin(I*x)
Out3]: ⅈ*sinh(x)

In 4]: sinh(I*x)
Out4]: ⅈ*sin(x)

In 5]: asinh(I)
Out5]:
π*ⅈ
───
 2

In 6]: asinh(I*x)
Out6]: ⅈ*asin(x)

In 15]: sin(x).series(x, , 10)
Out15]:
     3     5     7       9
    x     x     x       x
x - ── + ─── - ──── + ────── + O(x**10)
    6    120   5040   362880

In 16]: sinh(x).series(x, , 10)
Out16]:
     3     5     7       9
    x     x     x       x
x + ── + ─── + ──── + ────── + O(x**10)
    6    120   5040   362880

In 17]: asin(x).series(x, , 10)
Out17]:
     3      5      7       9
    x    3*x    5*x    35*x
x + ── + ──── + ──── + ───── + O(x**10)
    6     40    112     1152

In 18]: asinh(x).series(x, , 10)
Out18]:
     3      5      7       9
    x    3*x    5*x    35*x
x - ── + ──── - ──── + ───── + O(x**10)
    6     40    112     1152

Сферические гармоникиправить

In 1]: from sympy.abc import theta, phi

In 2]: Ylm(1, , theta, phi)
Out2]:
  ⎽⎽⎽
╲╱ 3 *cos(θ)
────────────
      ⎽⎽⎽
  2*╲╱ π

In 3]: Ylm(1, 1, theta, phi)
Out3]:
   ⎽⎽⎽           ⅈ*φ
-╲╱ 6 *│sin(θ)│*ℯ
────────────────────
          ⎽⎽⎽
      4*╲╱ π

In 4]: Ylm(2, 1, theta, phi)
Out4]:
   ⎽⎽⎽⎽                  ⅈ*φ
-╲╱ 30 *│sin(θ)│*cos(θ)*ℯ
────────────────────────────
              ⎽⎽⎽
          4*╲╱ π

Факториалы и гамма-функцииправить

In 1]: x = Symbol("x")

In 2]: y = Symbol("y", integer=True)

In 3]: factorial(x)
Out3]: Γ(1 + x)

In 4]: factorial(y)
Out4]: y!

In 5]: factorial(x).series(x, , 3)
Out5]:
                    2           2    2  2
                   x *EulerGamma    π *x
1 - x*EulerGamma + ────────────── + ───── + O(x**3)
                         2            12

Дзета-функция Риманаправить

In 18]: zeta(4, x)
Out18]: ζ(4, x)

In 19]: zeta(4, 1)
Out19]:
 4
π
──
90

In 20]: zeta(4, 2)
Out20]:
      4
     π
-1 + ──
     90

In 21]: zeta(4, 3)
Out21]:
        4
  17   π
- ── + ──
  16   90

Многочленыправить

Полиномы Чебышева, Лежандра, Эрмита:

In 1]: chebyshevt(2, x)
Out1]:
        2
-1 + 2*x

In 2]: chebyshevt(4, x)
Out2]:
       2      4
1 - 8*x  + 8*x

In 3]: legendre(2, x)
Out3]:
          2
       3*x
-12 + ────
        2

In 4]: legendre(8, x)
Out4]:
           2         4         6         8
 35   315*x    3465*x    3003*x    6435*x
─── - ────── + ─────── - ─────── + ───────
128     32        64        32       128

In 5]: assoc_legendre(2, 1, x)
Out5]:
        ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽
       ╱      2
-3*x*╲╱  1 - x

In 6]: assoc_legendre(2, 2, x)
Out6]:
       2
3 - 3*x

In 7]: hermite(3, x)
Out7]:
           3
-12*x + 8*x

Квадратный корень

Положительное число

Именно на работу с неотрицательными числами «заточена» функция

Если число больше или равно нулю, то неважно, какой у него тип. Вы можете извлекать корень из целых чисел:

А можете – из вещественных:

Легко проверить корректность полученных результатов с помощью обратной операции возведения в степень:

Отрицательное число

Функция не принимает отрицательных аргументов. Только положительные целые числа, вещественные числа и ноль.

Такая работа функции идёт вразрез с математическим определением. В математике корень спокойно извлекается из чисел меньше 0. Вот только результат получается комплексным, а таким он нужен для относительно узкого круга реальных задач, вроде расчетов в сфере электроэнергетики или физики волновых явлений.

Поэтому, если передадите отрицательное число в , то получите ошибку:

Степень

Целочисленная

В целочисленную степень можно возводить положительные и отрицательные и числа:

И функция и оператор «**» умеют возводить комплексные числа:

Показатель степени может быть положительным, отрицательным и нулевым:

Результат не определён, когда 0 возводят в отрицательную степень:

Ошибка деления на ноль возникает из-за следующего свойства степени:

Рациональная

Возведение числа в рациональную степень напрямую связано с извлечением корня из этого числа отношением:

Если рациональный показатель отрицательный, а основание равно нулю, то Питон все ещё будет выдавать ошибку:

В случае, когда основание меньше нуля, числитель показателя нечётный, а знаменатель, напротив, чётный, результат получается комплексным. Но это свойство рациональных степеней учитывается только в функции

В остальном возведение в рациональную степень работает, как и для целочисленной:

Вещественная

В начале автор объявил, что возведение в степень – штука несложная. Так вот, для вещественных степеней это уже не совсем так. Идеи, заложенные в эту операцию, хоть и просты, но их много, и каждая из них достойна собственной статьи. Описать вкратце разложение в ряд Тейлора и численное интегрирование не получится. Это будет не справедливо, как по отношению к вам, так и к математике. Поэтому, выделим главное:

Python умеет возводить в вещественную степень даже вещественные числа (пусть и псевдо)

Сделать такое инструментами математики ой как непросто:

Число Пи из библиотеки math

Первой важной математической константой является число Пи (π). Оно обозначает отношение длины окружности к диаметру, его значение 3,141592653589793

Чтобы получить к нему доступ, сначала импортируем библиотеку math следующим образом:

Python

import math

1 importmath

Затем можно получить доступ к константе, вызывая :

Python

math.pi

1 math.pi

Вывод

Shell

3.141592653589793

1 3.141592653589793

Данную константу можно использовать для вычисления площади или длины окружности. Далее представлен пример простого кода, с помощью которого это можно сделать:

Python

import math

radius = 2 print(‘Площадь окружности с радиусом 2 равна:’, math.pi * (radius ** 2))

1 2 3 4

importmath

radius=2

print(‘Площадь окружности с радиусом 2 равна:’,math.pi*(radius**2))

Вывод

Shell

Площадь окружности с радиусом 2 равна: 12.566370614359172

1 Площадьокружностисрадиусом2равна12.566370614359172

Мы возвели радиус во вторую степень и умножили значение на число Пи, как и следовало сделать в соответствии с формулой πr2.

4 ответа

Да, я считаю, что вы должны импортировать свою функцию в оболочку.

Во-первых, ваш цикл всегда заканчивается на первой итерации, поскольку у вас по сути есть . Попробуйте вместо этого:

Но учтите, что Python предлагает встроенный оператор power:

Чтобы конкретно ответить на ваш вопрос, вам придется импортировать свою функцию. Если файл, в котором это написано, является sqrt.py , чтобы использовать эту функцию в другом файле, вам потребуется .

означает, что ваша оболочка python не распознает функцию. Вы, вероятно, забыли импортировать скрипт.

Предполагая, что вы сохранили ваш файл как ( в том же каталоге, где вы запускаете оболочку Python ) >), вы должны использовать:

для функций, определенных внутри, чтобы быть доступными

Обратите внимание, что вам нужно будет вызвать , чтобы запустить вашу функцию : он доступен только в пространстве имен

В качестве альтернативы можно ввести : в этом случае вы создаете доступно в пространстве имен как . Будьте осторожны, чтобы не перезаписывать встроенную функцию этим …

Вот ваш оригинальный код, только что очищенный, чтобы он запустился. Проблема с оригинальным форматированием была с отступом.

Блок while должен иметь отступ на один уровень (4 пробела), чтобы обозначить его в блоке def для функции sqrt.

Наличие блоков if /else внутри операторов while означает, что проверка выполняется при каждом прохождении цикла; следовательно, в первый раз, когда ans будет равен только одному, этот тест будет выполнен, ваш вывод будет напечатан и возвращено значение. Нам нужно это изменить. Несколько других ответов дают более простые способы выразить это в python, но, сохраняя максимально возможный код, который вы написали, все, что вам на самом деле нужно сделать, это переместить блок if и блок else из пока блок. Код показан ниже:

Примеры ввода и вывода показаны: В:

Из:

В:

Из:

РЕДАКТИРОВАТЬ: На мой взгляд, Python — отличный первый язык. Когда я только начинал с него, я обнаружил класс MIT OpenCourseWare очень полезен

Одно очень важное замечание: класс преподается с использованием Python 2.x вместо 3.x, поэтому часть кода не будет работать для вас. Даже если вы не смотрите все видео лекции, задания, которые они дают , имеют разумную трудность, и задания по чтению ссылаются на некоторые превосходные учебные материалы по питону

Класс Udacity CS101 также предлагает хорошее, направленное введение в программирование на Python ( и также использует Python 2.x ), но я проработал там только половину заданий. Однако я все же рекомендую взглянуть на него.

7.6. Прочие математические разделы

Помимо перечисленных выше математических возможностей NumPy, необходимо упомянуть о некоторых других математических функциях, которые довольно редко используются, но иногда оказываются очень полезными.

7.6.1. Множества

В случаях, козда массивы содержат очень много элементов, среди которых есть одинаковые, возникает задача поиска уникальных элементов, количества их вхождений в исходный массив:

В двумерных и многомерных массивах уникальные массивы можно искать как по всему множеству его значений так и по отдельным осям:

Функция так же позволяет получить индексы входного массива с первым вхождением уникальных элементов, а так же индексы уникального массива которые восстанавливают исходный массив:

Так же имеется ряд других полезных функций:

7.6.2. Логические операции

Логические функции NumPy, условно, можно разделить на два множества: первое — позволяет определять специфику элементов массива и самого массива; второе — обычные логические операции которые действуют над массивами поэлементно.

Иногда, возникает потребность определить тип элементов:

Привычные нам логические операции выполняются над массивами булевых значений (массивы из значений и ):

Помимо всего прочего, NumPy позволяет производить различные сравнения:

7.6.3. Многочлены

Многочлены, довольно часто, встречаются в самых разных областях: физика, инженерное дело, теория приближений, криптография, теория вероятностей, комбинаторика и т.д. Многочлены определенного вида выделяются в особые классы, каждый из которых имеет свою нишу применения. В NumPy представлены функции для работы с классами многочленов Чебышёва, Лежандра, Лагерра и Эрмита. Помимо прочего, NumPy предоставляет широкий набор функций для работы с полиномами в общем виде, т.е. полиномы любого вида (Бернулли, Гегенбауэра, Шапиро, Якоби, Роджерса в том числе) могут быть легко сконструированы пользователем самостоятельно.

Рассмотрим базовые функции для работы с полиномами:

Иногда бывает крайне удобно создавать полиномы не указывая их коэфициенты, а указывая их корни:

Получить полиномы специального вида, можно разными способами, но мы рассмотрим самый простой — создание с помощью указания коэфициентов:


С этим читают