Инструменты inkscape: кривые безье

Содержание

Инструменты конвертации¶

Конвертация типа кривой

Ссылка


Режим: Режим правки

Панель: Инструменты кривой –> Установить тип сплайна

Кнопка установить тип сплайна

Вы можете конвертировать сплайны в объект кривой между Безье, NURBS, и кривую полисетки. Нажмите для того чтобы вызвать панель инструментов. Нажатием на кнопку Установить тип сплайна позволит Вам выбрать тип сплайна (Полилиния, Безье или NURBS).

Обратите внимание, что выполняется не “умное” преобразование, т. е

Blender не пытается держать, ни ту же форму, ни одинаковое количество контрольных точек. Например, при конвертировании NURBS в Безье, каждая группа из трех контрольных точек NURBS станет одной контрольной точкой Безье (Центральная точка и две ручки).

Конвертировать кривую в полилинию

Ссылка

Режим: Режим объекта

Меню: Объект ‣ Преобразовать в …

Горячие клавиши:

Существует также “внешние” преобразования, из кривой в полисетку, это работает только в режиме режим объекта. Преобразование объекта Кривая в Полисетку, используя разрешение кривой для создания ребер и вершин

Обратите внимание, что он также сохраняет грани и объемы, созданные закрытыми выдавленными кривыми

Многовариантность построений или чей путь лучше?

Дайте картинку десяти цветокорректорам и вы получите десять вариантов этой картинки. Все они могут быть хороши, но все они будут разными. То же самое происходит и с обтравкой: сколько человек будут контурить картинку – столько различных путей получится. Даже один и тот же человек, обтравливающий одно и то же изображение будет каждый раз делать другой путь.

На рисунке приведены два варианта обтравочного контура для одной и той же фигуры. Их можно условно назвать контур “по скатам” и контур “по гребням” волны. Оба они имеют право на существование, какой выбрать, зависит от множества факторов: привычки и пристрастия контурящего, точка “входа” пути на волну (если первая точка контура, попавшая на волну, будет находиться на гребне, то, скорее всего, дальше контур пойдет по гребням, если на скате, то по скатам), особенностей конкретной фигуры и т.д.

Этот простой пример хорошо иллюстрирует основную идею обтравки: не важно, как конкретно вы построили путь, важно, чтобы он хорошо передавал требуемую форму и был построен быстро

Известные игроки

  • Уорвик Воу (англ.)русск.

  • Джай Маллейн (англ.)русск.

  • Энтони Хилл (англ.)русск.

  • Джонни Ховард

  • Сантьяго Гонсалес Бонорино (англ.)русск.

  • Матиас Вьяццо (англ.)русск.

  • Гонсало Кесада (англ.)русск.

  • Агустин Смидт

  • Федерико Тодескини (англ.)русск.

  • Василий Кацадзе (англ.)русск.

  • Давид Хинчагишвили (англ.)русск.

  • Лаша Ломидзе (англ.)русск.

  • Лаша Малагурадзе

  • Ираклий Мачханели (англ.)русск.

  • Годердзи Швелидзе (англ.)русск.

  • Матьё Аморос

  • Конрад Маре (англ.)русск.

  • Элвис Левай

  • Эндрю Мертенс (англ.)русск.

  • Франсиску Фернандеш

  • Мурат Уанбаев

  • Алин Петраке (англ.)русск.

  • Кристиан Петре

  • Аугустин Петрекей (англ.)русск.

  • Лучан Сырбу (англ.)русск.

  • Салеси Сика

  • Сета Туилевука (англ.)русск.

  • Альберт Туипулоту (англ.)русск.

  • Самиу Вахафолау (англ.)русск.

  • Уинстон Мафи (англ.)русск.

  • Сука Хуфанга (англ.)русск.

  • Энди Пауэлл (англ.)русск.

  • Илаи Дереналагуи

  • Марк Андрьё (англ.)русск.

  • Ришар Астр (англ.)русск.

  • Марк Баже (англ.)русск.

  • Рауль Баррьер (англ.)русск.

  • Венсан Баррьер

  • Оливье Бенассис

  • Себастьен Брюно (англ.)русск.

  • Мохамед Буганми (англ.)русск.

  • Андре Буономо

  • Иван Буономо

  • Терри Бурауа (англ.)русск.

  • Адольф Буске (англ.)русск.

  • Жонатан Буске (фр.)русск.

  • Арман Вакран (англ.)русск.

  • Матья Видаль

  • Франк Вильяз

  • Филипп Галлар (англ.)русск.

  • Оливье Гаргалло

  • Бенжамен Гоз

  • Жан-Филипп Гранклод (англ.)русск.

  • Пьер Дано (англ.)русск.

  • Седрик Деброс (англ.)русск.

  • Поль Дедьё

  • Грегуар Дежардан

  • Кантан Думеру

  • Ришар Дурт (англ.)русск.

  • Мишель Дьёде

  • Жан-Фредерик Дюбуа

  • Николя Дюран (англ.)русск.

  • Венсан Жака

  • Камий Жерондо (англ.)русск.

  • Кевин Жимено

  • Пьер-Оливье Жюльен

  • Амза Зуэр

  • Анри Каброль

  • Дидье Камбераберо (англ.)русск.

  • Жиль Камбераберо

  • Жак Кантони (англ.)русск.

  • Ален Карминати (англ.)русск.

  • Ромен Карминьяни

  • Йоанн Карпантье

  • Ришар Кастель (англ.)русск.

  • Кристоф Коро

  • Арно Кост (англ.)русск.

  • Жюльен Лаарраг (англ.)русск.

  • Антони Лагардер

  • Пьер Лакан (англ.)русск.

  • Тибо Лакруа (англ.)русск.

  • Поль Лоссюк

  • Реми Мартан (англ.)русск.

  • Жан-Поль Медина

  • Александр Менини (англ.)русск.

  • Людовик Мерсье (англ.)русск.

  • Брис Мигель

  • Пьер Миньони (англ.)русск.

  • Янник Ньянга (англ.)русск.

  • Йоан Одран (англ.)русск.

  • Жан-Пьер Ортолан (англ.)русск.

  • Ален Пако (англ.)русск.

  • Сильвен Паже

  • Мишель Пальми (англ.)русск.

  • Жан-Батист Пейра-Лустале (англ.)русск.

  • Жан-Франсуа Педессо

  • Жан-Пьер Пестей

  • Лео Пестей

  • Тома Пошлю

  • Тибо Прива (англ.)русск.

  • Лука Пуантю (англ.)русск.

  • Антони Пужоль

  • Франсуа Рамонеда

  • Жан-Люк Ривалло

  • Оливье Саиссе

  • Фредерик Сермено (англ.)русск.

  • Матьё Сиро

  • Клод Сорель

  • Седрик Сулет (англ.)русск.

  • Антони Теске

  • Мишель Фабр

  • Патрик Фор

  • Стивен Холл (англ.)русск.

  • Димитри Шаржевски

  • Оливье Шаплен (англ.)русск.

  • Филипп Эсканд

  • Ален Эстев (англ.)русск.

  • Ален Ярде

  • Луан Фельтюйзен

  • Харри Фермас

Определение

Кривая Безье — параметрическая кривая, задаваемая выражением

B(t)=∑k=nPkbk,n(t),⩽t⩽1{\displaystyle \mathbf {B} (t)=\sum _{k=0}^{n}\mathbf {P} _{k}\mathbf {b} _{k,n}(t),\quad 0\leqslant t\leqslant 1}

где Pk{\displaystyle \mathbf {P} _{k}} — контрольные точки, определяющие форму сплайна Безье, а bk,n(t){\displaystyle \mathbf {b} _{k,n}(t)} — базисные функции кривой Безье, называемые также полиномами Бернштейна.

bk,n(t)=(nk)tk(1−t)n−k{\displaystyle \mathbf {b} _{k,n}(t)={n \choose k}t^{k}(1-t)^{n-k}},

где (nk)=n!k!(n−k)!{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}} — число сочетаний из n{\displaystyle n} по k{\displaystyle k}, где n{\displaystyle n} — степень полинома, k{\displaystyle k} — порядковый номер опорной вершины.

Алгоритм «де Кастельжо»

Есть математическая формула для кривых Безье, но давайте рассмотрим её чуть позже, потому что Алгоритм де Кастельжо идентичен математическому определению кривой и наглядно показывает, как она строится.

Рассмотрим его на примере трёх точек (точки 1,2 и 3 можно двигать). Нажатие на кнопку «play» запустит демонстрацию.

Построение кривой Безье c 3 точками по «алгоритму де Кастельжо»:

  1. Рисуются опорные точки. В примере это: , , .

  2. Строятся отрезки между опорными точками в следующем порядке 1 → 2 → 3. На рисунке они коричневые.

  3. Параметр «пробегает» значения от до . В примере использован шаг , т.е. в цикле .

    Для каждого из этих значений :

    • На каждом из коричневых отрезков берётся точка, находящаяся на расстоянии, пропорциональном , от его начала. Так как отрезков два, то и точек две.

      Например, при – точки будут в начале, при – на расстоянии в 25% от начала отрезка, при – 50% (на середине), при – в конце отрезков.

    • Эти точки соединяются. На рисунке ниже соединяющий их отрезок изображён синим.

При При
  1. На получившемся синем отрезке берётся точка на расстоянии, соответствующем . То есть, для (левый рисунок) получаем точку в конце первой четверти отрезка, для (правый рисунок) – в середине отрезка. На рисунках выше эта точка отмечена красным.


  2. По мере того, как «пробегает» последовательность от до , каждое значение добавляет к кривой точку. Совокупность таких точек для всех значений образует кривую Безье. Она красная и имеет параболическую форму на картинках выше.

Был описан процесс для построения по трём точкам. Но то же самое происходит и с четырьмя точками.

Демо для четырёх точек (точки можно двигать):

Алгоритм для 4 точек:

  • Точки по порядку соединяются отрезками: 1 → 2, 2 → 3, 3 → 4. Получается три коричневых отрезка.

  • Для на отрезке от до :

    • На отрезках берутся точки, соответствующие текущему , соединяются. Получается два зелёных отрезка .
    • На этих отрезках берутся точки, соответствующие текущему , соединяются. Получается один синий отрезок.
    • На синем отрезке берётся точка, соответствующая текущему . При запуске примера выше она красная.
  • Эти точки вместе описывают кривую.

Алгоритм является рекурсивным и может быть обобщён на любое количество контрольных точек.

Дано N контрольных точек:

  1. Соединяем их, чтобы получить N-1 отрезков.
  2. Затем для каждого от до берём точку на каждом отрезке на расстоянии пропорциональном и соединяем их. Там будет N-2 отрезков.
  3. Повторяем 2 шаг, пока не останется одна точка.

Эти точки образуют кривую.

Запускайте и приостанавливайте примеры, чтобы ясно увидеть отрезки и то, как строится кривая.

Кривая, которая выглядит как :

Зигзагообразные контрольные точки тоже работают нормально:

Создание петли возможно:

Негладкая кривая Безье (да, это тоже возможно):

Если в описании алгоритма есть что-то непонятное, посмотрите «живые» примеры выше, они наглядно показывают, как строится кривая.

Поскольку алгоритм является рекурсивным, мы можем построить кривые Безье любого порядка, используя 5, 6 или более контрольных точек. Но на практике много точек не так полезны. Обычно мы берём 2-3 точки, а для сложных линий склеиваем несколько кривых. Это проще для разработки и расчёта.

Как нарисовать кривую через заданные точки?

Для задания кривой Безье используются контрольные точки. Как видим, они не находятся на кривой, кроме первой и последней.

Иногда перед нами стоит другая задача: нарисовать кривую через несколько точек, чтобы все они были на одной гладкой кривой. Эта задача называется интерполяцией, и она за рамками нашего изложения.

Для таких кривых существуют математические формулы, например, полином Лагранжа. В компьютерной графике сплайн-интерполяция часто используется для построения плавных кривых, соединяющих множество точек.

С чем мы собираемся бороться?

Итак, начнём. На более прямых участках нужно минимальное количество точек, но в определённых местах, таких как крутые повороты, перегибы и узкие петли, кривая очень сильно изгибается, и чтобы сохранить плавность, нужно генертровать больше точек. Потому разбиение и называется адаптивным. Ниже примеры кривых, которые обычно сложно аппроксимировать.

Рис. 1 — Крутой поворот

Рис. 2 — Перегиб

Рис. 3 — Узкая петля

В общем-то внешне это примерно одно и то же. И тут мой подход отличается от подхода автора той статьи. Он решил обрабатывать все исключительные ситуации в отдельности. Как итог — нагромождение кода, который тем не менее не особо-то эффективно решает все проблемы. Я начал искать решение, которое было бы простым и универсальным. Лень — двигатель прогресса. В итоге все проверки сводятся к одной, а степень детализации задаётся одним параметром.

Кривые 3-го порядка


Второй пример будет с кривой Безье 3-го порядка. Начальная и конечная точки эталонной кривой совпадают с таковыми у исходной. Опорные точки находятся на 1/3 и 2/3 её длины, т.к. кривая 3-го порядка, а значит мы делим её на три части.

Рис. 5 — Кривая Безье 3-го порядка.

Аналогично предыдущему примеру, расстояния d1 и d2 на рисунке показывают отклонение опорных точек от их эталонных значений (отрезки 1-1′ и 2-2′). Если оба расстояния d1 и d2 меньше заданной нами величины, чертим прямую линию из точки 0 в точку 3 и заканчиваем аппроксимацию, если нет — делим кривую пополам и рекурсивно для каждой половины повторяем проверку. Пример кода прилагается.

Виды кривых Безье

Линейные кривые

Линейная кривая Безье

При n = 1 кривая представляет собой отрезок прямой линии, опорные точки P и P1 определяют его начало и конец. Кривая задаётся уравнением:

B(t)=(1−t)P+tP1t∈,1{\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)\mathbf {P} _{0}+t\mathbf {P} _{1}\quad t\in }.

Квадратичные кривые

Квадратичная кривая Безье

Квадратичная кривая Безье (n = 2) задаётся тремя опорными точками: P, P1 и P2.

B(t)=(1−t)2P+2t(1−t)P1+t2P2,t∈,1{\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}\mathbf {P} _{0}+2t(1-t)\mathbf {P} _{1}+t^{2}\mathbf {P} _{2},\quad t\in }.

Квадратичные кривые Безье в составе сплайнов используются для описания формы символов в шрифтах TrueType и в SWF-файлах.

t=P−P1±(P−2P1+P2)B+P12−PP2P−2P1+P2,P−2P1+P2≠{\displaystyle t={\frac {\mathbf {P} _{0}-\mathbf {P} _{1}\pm {\sqrt {(\mathbf {P} _{0}-2\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2})\mathbf {B} +\mathbf {P} _{1}^{2}-\mathbf {P} _{0}\mathbf {P} _{2}}}}{\mathbf {P} _{0}-2\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}}},\quad \mathbf {P} _{0}-2\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}\neq 0}
t=B−P2(P1−P),P−2P1+P2=,P≠P1{\displaystyle t={\frac {\mathbf {B} -\mathbf {P} _{0}}{2(\mathbf {P} _{1}-\mathbf {P} _{0})}},\quad \mathbf {P} _{0}-2\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}=0,\quad \mathbf {P} _{0}\neq \mathbf {P} _{1}}
t=B−PP2−P1,P=P1≠P2{\displaystyle t={\sqrt {\frac {\mathbf {B} -\mathbf {P} _{0}}{\mathbf {P} _{2}-\mathbf {P} _{1}}}},\quad \mathbf {P} _{0}=\mathbf {P} _{1}\neq \mathbf {P} _{2}}

Кубические кривые

Кубическая кривая Безье

В параметрической форме кубическая кривая Безье (n = 3) описывается следующим уравнением:

B(t)=(1−t)3P+3t(1−t)2P1+3t2(1−t)P2+t3P3,t∈,1{\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{3}\mathbf {P} _{0}+3t(1-t)^{2}\mathbf {P} _{1}+3t^{2}(1-t)\mathbf {P} _{2}+t^{3}\mathbf {P} _{3},\quad t\in }.

Четыре опорные точки P, P1, P2 и P3, заданные в 2- или 3-мерном пространстве, определяют форму кривой.

Линия берёт начало из точки P, направляясь к P1 и заканчивается в точке P3, подходя к ней со стороны P2. То есть, кривая не проходит через точки P1 и P2, они используются для указания её направления. Длина отрезка между P и P1 определяет, как скоро кривая повернёт к P3.

В матричной форме кубическая кривая Безье записывается следующим образом:

B(t)=t3t2t1MBPP1P2P3{\displaystyle \mathbf {B} (t)={\begin{bmatrix}t^{3}&t^{2}&t&1\end{bmatrix}}\mathbf {M} _{B}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{0}\\\mathbf {P} _{1}\\\mathbf {P} _{2}\\\mathbf {P} _{3}\end{bmatrix}}},

где MB{\displaystyle \mathbf {M} _{B}} называется базисной матрицей Безье:

MB=−13−313−63−331{\displaystyle \mathbf {M} _{B}={\begin{bmatrix}-1&3&-3&1\\3&-6&3&0\\-3&3&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}

В современных графических системах и форматах, таких как PostScript (а также основанные на нём форматы Adobe Illustrator и Portable Document Format (PDF)), Scalable Vector Graphics (SVG), Metafont, CorelDraw и GIMP для представления криволинейных форм используются сплайны Безье, составленные из кубических кривых.

Вы здесь

Главная › Программы для работы с графикой › Графический редактор Corel Draw › Урок 3. Линии

Упражнение 3.2. Построение линий инструментом Bezier

Выполняя это упражнение, мы освоим приемы работы с инструментом Bezier (Кривая Безье) па примере той же кривой, которую строили в предыдущем упражнении.

1. Добавьте новую страницу в открытый документ CorelDRAW и переименуйте ее в Bezier. Выберите в наборе инструментов инструмент Bezier (Кривая Безье).

2. Начнем построение линии с узла, предшествующего линейному сегменту. Установите указатель в нужную точку и нажмите кнопку мыши. Не отпуская кнопку, переместите указатель на некоторое расстояние вправо так, чтобы стали видны «вытащенные» из узла направляющие точки. Чтобы касательная к следующему сегменту была строго горизонтальна, нажмите и удерживайте клавишу- модификатор Ctrl. Отпустите кнопку мыши, а затем и клавишу Ctrl — первый узел кривой построен (рис. 3.9). Поскольку пока он является единственным (и, следовательно, крайним) узлом линии, после завершения работы с ним он автоматически становится точкой излома. После того как линия будет замкнута в этом узле, его тип сменится.

Рис. 3.9. Построение первого узла линии

3. Переходим к построению второго узла. Поскольку он должен располагаться на одной горизонтали с первым, перед перемещением указателя инструмента снова нажмите и удерживайте клавишу Ctrl. Второй узел строится точно так же, как первый, но после отпускания кнопки мыши он станет симметричным (перед ним на линии уже имеется узел, и поскольку процесс построения не закопчен, появится узел и за ним — следовательно, он не крайний). Поскольку симметричные узлы вполне соответствуют виду строящейся кривой, нет необходимости явно указывать тип этого узла клавишей-модификатором (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Изображение перед отпусканием кнопки мыши после построения второго узла

4. Третий узел должен располагаться строго под вторым, поэтому по окончании работы со вторым узлом клавишу Ctrl можно даже не отпускать. На этот раз «вытаскивать» направляющую точку из узла следует не вправо, а влево, не отпуская клавишу Ctrl. Чтобы закругление получилось симметричным, расстояние от направляющей точки до узла должно быть примерно таким же, как у второго узла (рис. 3.11).

Рис. 3.11. Изображение перед отпусканием кнопки мыши после построения третьего узла

5. Четвертый узел строится точно так же, как третий (рис. 3.12, а). Теперь кривую следует замкнуть. Для этого указатель мыши перемещается на начальную точку (до появления в качестве указателя инструмента «стрелочки» вместо символического изображения узла) и нажимается левая кнопка мыши. Остается только перетащить направляющую точку вправо при нажатой клавише Ctrl (чтобы левое закругление стало симметричным), и замкнутая кривая будет построена (рис. 3.12, б).

Рис. 3.12. Завершение построения замкнутой кривой

6. Исследуйте построенную кривую способом, описанным в предыдущем упражнении, просматривая типы построенных узлов. Впрочем, достоинства только что построенной кривой по сравнению с результатом предыдущего упражнения очевидны: гораздо меньшее число узлов, прямолинейность тех сегментов, которые должны быть прямыми, симметричность закруглений, отсутствие случайных отклонений. Хотя, возможно, закругления и не представляют собой идеальных полуокружностей, полученный результат очень близок к поставленной цели.

7. В завершение упражнения попробуйте самостоятельно построить с помощью инструмента Bezier (Кривая Бсзье) замкнутую кривую, представляющую собой равносторонний треугольник с закругленными вершинами и «пилу» из предыдущего упражнения, но с закругленными зубцами. При работе с последним заданием, поскольку кривая получится незамкнутая, не забудьте после определения последнего узла нажать клавишу Пробел.


Подсказка

Возможно, что поначалу приемы работы с инструментом Bezier (Кривая Безье) покажутся вам чересчур сложными. Это вполне естественно — совершенство достигается только практикой. Но на первых порах работы с CorelDRAW вполне приемлема упрощенная стратегия, когда при построении кривой пользователь не заботится о том, чтобы ее форма была близка к требующейся, — он просто расставляет узлы кривой в ее характерных точках. Окончательная настройка узлов и сегментов в этом случае выполняется на втором этапе методами редактирования кривой (см. урок 5).

Примечание

Математика

Кривая Безье может быть описана с помощью математической формулы.

Как мы видели, на самом деле нет необходимости её знать, большинство людей просто рисуют кривую, перемещая точки с помощью мыши. Но если вы увлекаетесь математикой – вот она.

Координаты кривой с контрольными точками : первая контрольная точка имеет координаты , вторая: и т.д., описываются уравнением, зависящим от параметра на отрезке .

  • Формула для 2-х точечной кривой:

  • Для 3 контрольных точек:

  • Для 4 контрольных точек:

Это векторные уравнения. Другими словами, мы можем поставить и вместо , чтобы получить соответствующие координаты.

Например, 3-точечная кривая образована точками , рассчитанными как:

Вместо мы должны поместить координаты 3 контрольных точек, а затем при перемещении от до для каждого значения мы получим кривой.

Например, если контрольными точками являются , и , уравнения становятся:

Теперь, в то время как «пробегает» от до , набор значений для каждого образует кривую для таких контрольных точек.

Делаем классные кривые с направляющими кривых Безье

Теперь, когда мы разобрались с узлами, пришло время уделить внимание направляющим. Посмотрите на этот GIF:Рис

07

Если вы хоть раз векторизировали леттеринг, иллюстрацию или что-то в этом роде, картинка выше кажется вполне привычным зрелищем. Вы потратите большую часть времени, цепляя эти маленькие красные кружочки на конце направляющих, уговаривая их составить правильную кривую. Здесь нет магии, и чем больше вы практикуетесь, тем лучше будет получаться.

Фантастика с этими ГВНКБ (горизонтальными и вертикальными направляющими кривых Безье) начинается, когда вы ограничиваете их (ага, снова). Ваш мизинец никогда не должен отпускать  во время выбора оптимальной длины направляющих. Такое линейное ограничение вариантов очень освежает. Я, буквально, чувствую себя гораздо лучше, когда мне приходит проект с векторизацией.

Достопримечательности Безье

В Безье много архитектурных достопримечательностей

Ж. А. Инжальбер. Скульптуры отеля Chappaz в Безье.

Музей Жоржа Брассанса

Музей Жоржа Брассанса — музей, расположенный напротив кладбища Le Py, на bd Camille-Blanc. В этом музее есть много разнообразной информации, которая касается французского поэта и композитора Жоржа Брассанса, в том числе о творчестве, музыке, друзьях, подругах, поэзии. Здесь сохранились афиши его первых спектаклей, есть редкие документы и фотографии, которые редко где-то появляются. В музее демонстрируются видео-материалы с концертами музыканта, а в наушниках аудиогида звучит голос Брассанса.

Надале

Надале — это название праздничной недели перед Рождеством, во время которой проходят разные интересные события в городе. В переводе с окситанского, «надале» значит «маленькое рождество».

Праздник Святого Афродиза

Праздник Святого Афродиза выпадает на конец апреля. В этот день по улицам Безье ведут верблюда. Согласно существующей легенде, святой Афродиз прибыл из Египта на верблюде, и после его смерти, о его верблюде заботились жители города.

Праздник шлюзов

Праздник шлюзов проходит в июне. В это время организовываются праздничные фестивали, шествия, конкурсы. Во время праздника жители Безье идут в сторону Фонсеран, чтобы посмотреть на то, как происходит открытие Южного канала.

Праздник молодого вина

Праздник молодого вина проходит в конце октября. Это праздник молодых окситанских вин, во время которого проходят дегустации, сопровождаемые фольклорными танцами.

Собор святых Назария и Цельсия

Собор святых Назария и Цельсия — один из старинных соборов центра города Безье. Собор строился в XIII-первой половине XIV века, XVIII век. В 1992 году был признан историческим памятником Франции.

Церковь Святой Мадлены

Церковь Святой Мадлены — церковь в городе Безье, которая была построена в XI веке. Первые упоминания о ней относятся к 1092 году. Расположена на площади Мадлены. С этой церковью связаны трагические события 1209 года в городе.

История

Впервые команда приблизилась к обладанию трофеем в 1950 году, став финалистом кубка Франции. Затем, десять лет спустя клуб сыграл в решающем матче чемпионата страны. 22 мая коллектив встретился с «Лурдом» и уступил со счётом 11:14. В следующем сезоне «Безье» стал лучшей командой Франции — в финале регбисты обыграли соперников из «Дакса» (6:3). В том же году клуб дошёл до финала престижного турнира Шалёнж Ив дю Мануа. В 1962 и 1964 годах красно-синие провели ещё два финала французского чемпионата, где проиграли соответственно «Ажену» и «По». Также на 1964 год пришлась победа в Шалёнж.

Став в шестидесятых угрозой для сильнейших клубов страны, в следующем десятилетии клуб сам обрёл статус фаворита. В 1971 году клуб выиграл свой второй щит Бреннуса благодаря победе над «Тулоном» (15:9). Через год регбисты «Безье» отстояли титул, переиграв претендентов из «Брива» (9:0). Тогда же коллектив стал обладателем главного приза Шалёнж. Возраставший авторитет клуба укрепился ещё сильнее в 1974 и 1975 годах, когда средиземноморцы обыгрывали в финале «Нарбонну» и «Брив». Финал 1976 года команда проиграла «Ажену» (10:13). Через год, впрочем, красно-синие вернули лидерство себе, взяв верх над «Перпиньяном» (12:4). 1977 год также был отмечен выигрышем Шалёнж. Побед в этом турнире игроки «Безье» больше не одерживали.

В 1978 году команда уже по сложившейся традиции взяла второй титул чемпиона подряд — парижский финал с «Монферраном» закончился с крупным счётом (31:9). Команда вышла в главный матч Шалёнж, в котором уступила. Чемпионат Франции в 1980 году снова, уже в восьмой раз, триумфальным для коллектива. В итоговом матче «Безье» превзошёл «Тулузу» (10:6). Спустя год клуб сыграл со «Стад Баньере», и снова сильнее оказались красно-синие (22:13). В 1981 году, как и годом ранее, клуб играл в финале Шалёнж, но победу упускал. В дальнейшем «Безье» не появлялся в числе двух сильнейших команд турнира. 1983 и 1984 годы принесли «Безье» последний на данный момент национальные титулы. Финалистами тех лет стали соответственно «Ницца» и «Ажен». В 1986 году клуб второй раз сыграл в финале кубка Франции, и в этот раз средиземноморцам улыбнулась удача.

Затем золотая эпоха клуба завершилась. С введением в девяностые профессиональных основ регби, позиции команды стали ослабевать. В 2005 году «Безье» вылетел во второй дивизион, а в 2009 году упал ещё на уровень ниже. В 2011 году коллектив стал победителем третьего дивизиона, Федераль 1, и вернулся во второй эшелон французского регби. Возвращение «Безье» не было удачным: в сезоне 2011/12 регбисты финишировали предпоследними. Тем не менее, занявший девятое место «Бургуэн» был переведён в низшую лигу из-за финансовой несостоятельности, и «Безье» сохранил место в лиге на сезон 2012/2013.

Getting Started

For example, to create a curve:

>>> nodes1 = np.asfortranarray(,
...     0.0, 1.0, 0.0],
... ])
>>> curve1 = bezier.Curve(nodes1, degree=2)

The intersection (points) between two curves can also be determined:

>>> nodes2 = np.asfortranarray(,
...     0.0, 2.0 , -2.0, 2.0 , 0.0],
... ])
>>> curve2 = bezier.Curve.from_nodes(nodes2)
>>> intersections = curve1.intersect(curve2)
>>> intersections
array(,
       0.31101776, 0.68898224,  , 1. ]])
>>> s_vals = np.asfortranarray(intersections, :])
>>> points = curve1.evaluate_multi(s_vals)
>>> points
array(,
       0.42857143, 0.42857143,  ,  ]])

and then we can plot these curves (along with their intersections):

>>> import seaborn
>>> seaborn.set()
>>>
>>> ax = curve1.plot(num_pts=256)
>>> _ = curve2.plot(num_pts=256, ax=ax)
>>> lines = ax.plot(
...     points, :], points1, :],
...     marker="o", linestyle="None", color="black")
>>> _ = ax.axis("scaled")
>>> _ = ax.set_xlim(-0.125, 1.125)
>>> _ = ax.set_ylim(-0.0625, 0.625)

Построение кривых Безье

Линейные кривые

Параметр t в функции, описывающей линейный случай кривой Безье, определяет, где именно на расстоянии от P до P1 находится B(t). Например, при t = 0,25 значение функции B(t) соответствует четверти расстояния между точками P и P1. Параметр t изменяется от 0 до 1, а B(t) описывает отрезок прямой между точками P и P1.

Квадратичные кривые

Для построения квадратичных кривых Безье требуется выделение двух промежуточных точек Q и Q1 из условия, чтобы параметр t изменялся от 0 до 1:

  • Точка Q изменяется от P до P1 и описывает линейную кривую Безье.
  • Точка Q1 изменяется от P1 до P2 и также описывает линейную кривую Безье.
  • Точка B изменяется от Q до Q1 и описывает квадратичную кривую Безье.
Построение квадратичной кривой Безье

Анимация t:

Кривые высших степеней

Для построения кривых высших порядков соответственно требуется и больше промежуточных точек. Для кубической кривой это промежуточные точки Q, Q1 и Q2, описывающие линейные кривые, а также точки R и R1, которые описывают квадратичные кривые: более простое уравнение PQPQ1=Q1P1P1P2=BQQ1Q{\displaystyle {\frac {P_{0}Q_{0}}{P_{0}Q_{1}}}={\frac {Q_{1}P_{1}}{P_{1}P_{2}}}={\frac {BQ_{0}}{Q_{1}Q_{0}}}}.

Построение кубической кривой Безье

Анимация t:

Для кривых четвёртой степени это будут точки Q, Q1, Q2 и Q3, описывающие линейные кривые, R, R1 и R2, которые описывают квадратичные кривые, а также точки S и S1, описывающие кубические кривые Безье:

Построение кривой Безье 4-й степени

Анимация t:

Свойства кривой Безье

  • непрерывность заполнения сегмента между начальной и конечной точками;
  • кривая всегда располагается внутри фигуры, образованной линиями, соединяющими контрольные точки;
  • при наличии только двух контрольных точек сегмент представляет собой прямую линию;
  • прямая линия образуется при коллинеарном (на одной прямой) размещении управляющих точек;
  • кривая Безье симметрична, то есть обмен местами между начальной и конечной точками (изменение направления траектории) не влияет на форму кривой;
  • масштабирование и изменение пропорций кривой Безье не нарушает её стабильности, так как она с математической точки зрения «аффинно инвариантна»;
  • изменение координат хотя бы одной из точек ведет к изменению формы всей кривой Безье;
  • любой частичный отрезок кривой Безье также является кривой Безье;
  • степень (порядок) кривой всегда на одну ступень меньше числа контрольных точек. Например, при трех контрольных точках форма кривой — парабола, так как парабола — кривая 2-го порядка;
  • окружность не может быть описана параметрическим уравнением кривой Безье;
  • невозможно создать параллельные кривые Безье, за исключением тривиальных случаев (прямые линии и совпадающие кривые), хотя существуют алгоритмы, строящие приближённую параллельную кривую Безье с приемлемой для практики точностью.

В итоге, вот почему мы будем использовать ГВНКБ в будущих проектах

Мы поговорили об упрощении размещения узлов. Если это сохраняет и экономит ваше время, почему бы и нет. ГВНКБ также уменьшает общее количество узлов, которое приходится делать, а это — упрощает работу и уменьшает размер файлов. Кроме этого, ваши кривые в итоге получаются более плавными. И, наконец, из-за меньшего количества решений, которые приходится принимать, весь процесс векторизации ощущается чуть более автоматическим, оставляя вам больше времени, чтобы взять настоящие инструменты и нарисовать больше букв.

И, будем честными, это своего рода развлекуха 🙂

И ещё, вы выглядите как кто-то, кто знает то, что не знают другие дизайнеры, когда публикуете свои работы на Дриббле 😉


С этим читают