Импликация

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства дизъюнкции определяются с помощью аксиом. Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства дизъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для дизъюнкции:

  • a→a∨b{\displaystyle a\to a\lor b}
  • b→a∨b{\displaystyle b\to a\lor b}
  • (a→c)→((b→c)→((a∨b)→c)){\displaystyle (a\to c)\to ((b\to c)\to ((a\lor b)\to c))}

С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию дизъюнкции


Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.

Булева логика

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества {,1}{\displaystyle \{0,1\}}. Результат также принадлежит множеству {,1}{\displaystyle \{0,1\}}. Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений ,1{\displaystyle 0,1} может использоваться любая другая пара подходящих символов, например false,true{\displaystyle \operatorname {false} ,\operatorname {true} } или F,T{\displaystyle F,T} или «ложь», «истина».

Правило:

Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, импликация A→B{\displaystyle A\to B} это сокращённая запись для выражения ¬A∨B{\displaystyle \neg A\lor B}.

Таблицы истинности:

прямая импликация (от a к b) (материальная импликация (англ.)русск., материальный кондиционал (англ.)русск.)

a{\displaystyle a} b{\displaystyle b} a→b,a⩽b{\displaystyle a\to b,a\leqslant b}
{\displaystyle 0} {\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1}
{\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1}
1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0} {\displaystyle 0}
1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1}
  • если первый операнд не больше второго операнда, то 1,
  • если a⩽b{\displaystyle a\leqslant b}, то истинно (1).

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель:

А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0).
В — подчинённый. Он может работать (1) или бездельничать (0).

В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчинённого начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчинённый бездельничает.

обратная импликация (от b к a, A∨(¬B){\displaystyle A\lor (\neg B)})

a{\displaystyle a} b{\displaystyle b} a←b,a⩾b{\displaystyle a\leftarrow b,a\geqslant b}
{\displaystyle 0} {\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1}
{\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0}
1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1}
1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1}
  • если первый операнд не меньше второго операнда, то 1,
  • если a⩾b{\displaystyle a\geqslant b}, то истинно (1).

Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

отрицание (инверсия, негация) прямой импликации

a{\displaystyle a} b{\displaystyle b} ¬(a→b),a>b{\displaystyle \lnot (a\to b),a>b}
{\displaystyle 0} {\displaystyle 0} {\displaystyle 0}
{\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0}
1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1}
1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0}
  • если первый операнд больше второго операнда, то 1,
  • если a>b{\displaystyle a>b}, то истинно (1).

отрицание (инверсия, негация) обратной импликации (¬A∧B{\displaystyle \lnot A\land B}), разряд займа в .

a{\displaystyle a} b{\displaystyle b} ¬(a←b),a<b{\displaystyle \lnot (a\leftarrow b),a<b}
{\displaystyle 0} {\displaystyle 0} {\displaystyle 0}
{\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1}
1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0} {\displaystyle 0}
1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0}
  • если первый операнд меньше второго операнда, то 1,
  • если a<b{\displaystyle a<b}, то истинно (1).

Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.

Основные логические символы

Символ Название Объяснение Примеры Символ в программировании ЗначениеUnicode Название вHTML СимволLaTeX
⇒→⊃ Импликация AB ложно, только когда A истинно, а B ложно.→ может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также указывать область определения и область значений функции, см. таблицу математических символов).⊃ может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также обозначать надмножество). x = 2  ⇒  x2 = 4 истинно, но x2 = 4   ⇒  x = 2, в общем случае, ложно (поскольку x может быть равен −2). Отсутствует U+21D2U+2192U+2283 ⇒→⊃

⇒{\displaystyle \Rightarrow }\Rightarrow→{\displaystyle \to }\to⊃{\displaystyle \supset }\supset⟹{\displaystyle \implies }\implies

⇔≡ Тогда и только тогда A ⇔ B истинно, только если оба значения A и B ложны, либо оба истинны. x + 5 = y + 2  ⇔  x + 3 = y
==, ===
U+21D4U+2261U+2194 ⇔≡ ⇔{\displaystyle \Leftrightarrow }\Leftrightarrow≡{\displaystyle \equiv }\equiv{\displaystyle \leftrightarrow }\leftrightarrow⟺{\displaystyle \iff }\iff
¬˜! отрицание Утверждение ¬A истинно тогда и только тогда, когда A ложно.Знак /, расположенный поверх другого оператора, означает то же самое, что «¬», помещённое перед выражением. ¬(¬A) ⇔ A x ≠ y  ⇔  ¬(x = y) ! U+00ACU+02DC ¬˜ ~

¬{\displaystyle \neg }\lnot или \neg∼{\displaystyle \sim }\sim

∧ •& конъюнкция Утверждение AB истинно, если и A, и B истинны, и ложно в противном случае. n < 4  ∧  n >2  ⇔  n = 3, если n — натуральное число. & U+2227U+0026 ∧& ∧{\displaystyle \wedge }\wedge или \land\&
∨+ǀǀ логическая дизъюнкция Утверждение AB верно, если A или B (или оба) верны. Если оба не верны, утверждение неверно. n ≥ 4  ∨  n ≤ 2  ⇔ n ≠ 3 когда n является натуральным числом. || U+2228 ∨{\displaystyle \lor }\lor или \vee
⊕⊻ исключающее или Утверждение AB верно, когда либо A, либо B верно, но не оба. AB означает то же самое. A) ⊕ A всегда верно, AA всегда неверно. x != y U+2295U+22BB ⊕{\displaystyle \oplus }\oplus⊻{\displaystyle \veebar }\veebar
⊤T1 Тавтология Утверждение ⊤ безусловно верно. A ⇒ ⊤ всегда верно. Отсутствует U+22A4 T ⊤{\displaystyle \top }\top
⊥F0 Противоречие Утверждение ⊥ безусловно неверно. ⊥ ⇒ A всегда верно. Отсутствует U+22A5 ⊥ F ⊥{\displaystyle \bot }\bot
∀() Квантор всеобщности ∀ xP(x) или (xP(x) означает P(x) верно для всех x. ∀ n ∈ ℕ: n2 ≥ n. Отсутствует U+2200 ∀{\displaystyle \forall }\forall
Квантор существования ∃ x: P(x) означает, что существует по меньшей мере один x, такой, что P(x) верно. ∃ n ∈ ℕ: n чётно. x%2==0 U+2203 ∃{\displaystyle \exists }\exists
∃! Единственность ∃! x: P(x) означает, что существует ровно один x, такой, что P(x) верно. ∃! n ∈ ℕ: n + 5 = 2n. Отсутствует U+2203 U+0021 ∃ ! ∃!{\displaystyle \exists !}\exists !
:=≡:⇔ Определение x := y илиx ≡ y означает, что x является другим обозначением для y (но заметьте, что ≡ может означать и другое, как, например, конгруэнтность).P :⇔ Q означает, что P логически эквивалентно Q. cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x))A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B) Отсутствует U+2254 (U+003A U+003D)U+2261U+003A U+229C :=:≡⇔

:={\displaystyle :=}:=≡{\displaystyle \equiv }\equiv⇔{\displaystyle \Leftrightarrow }\Leftrightarrow

() приоритетная группировка Операции внутри скобок выполняются первыми. (8 ÷ 4) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1, но 8 ÷ (4 ÷ 2) = 8 ÷ 2 = 4. Аналогично U+0028 U+0029 () ( ){\displaystyle (~)} ()
xy означает, что y выводимо из x (в некоторых формальных системах). AB ⊢ ¬B → ¬A Отсутствует U+22A2 ⊢{\displaystyle \vdash }\vdash
xy означает, что x семантически влечёт за собой y AB ⊨ ¬B → ¬A Отсутствует U+22A8 ⊨{\displaystyle \vDash }\vDash

Булева алгебра

Определение. Логическая функция MIN в двухзначной (двоичной) логике называется конъюнкция (логи́ческое «И», логи́ческое умноже́ние или просто «И»).

Правило: результат равен наименьшему операнду.

Описание. В булевой алгебре конъюнкция — это функция двух, трёх или более переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества {,1}{\displaystyle \{0,1\}}. Результат также принадлежит множеству {,1}{\displaystyle \{0,1\}}. Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений ,1{\displaystyle 0,1} может использоваться любая другая пара подходящих символов, например false,true{\displaystyle false,true} или F,T{\displaystyle F,T} или «ложь», «истина», но при таком обозначении необходимо дополнительно доопределять старшинство, например, true>false{\displaystyle true>false}, при цифровом обозначении старшинство естественно 1>{\displaystyle 1>0}. Правило: результат равен 1{\displaystyle 1}, если все операнды равны 1{\displaystyle 1}; во всех остальных случаях результат равен {\displaystyle 0}.

Таблицы истинности: для бинарной конъюнкции

a{\displaystyle a} b{\displaystyle b} a∧b{\displaystyle a\land b}
{\displaystyle 0} {\displaystyle 0} {\displaystyle 0}
1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0} {\displaystyle 0}
{\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0}
1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1}

для тернарной конъюнкции

a{\displaystyle a} b{\displaystyle b} c{\displaystyle c} a∧b∧c{\displaystyle a\land b\land c}
1
1
1 1
1
1 1
1 1
1 1 1 1

Конъюнкция коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна по отношению к слабой дизъюнкции.

Построение тавтологий

Для выяснения того, является ли данная формула тавтологией, в алгебре высказываний есть простой способ — построение таблицы истинности. В исчислении высказываний тавтологиями являются аксиомы (точнее — схемы аксиом), а также все формулы, которые можно получать из известных тавтологий с помощью заданных правил вывода (чаще всего это Modus ponens и правило подстановки). Проверка, является ли данная формула в исчислении высказываний тавтологией, более сложна, а также зависит от системы аксиом и доступных правил вывода. Проблема определения того, является ли произвольная формула в логике предикатов тавтологией, алгоритмически неразрешима.

Роль пунктуации

В истории российского языкознания сложились три основных направления в оценке роли и принципов русской пунктуации:

  • логическое:
    • «Кот нёсся на трёх лапах, а четвёртой, передней лапой бил петуха по спине» (Пауст.)
    • Если не поставить запятую между двумя определениями: «четвёртой» и «передней», не считая их однородными по контексту, то получится, что у кота три лапы, на которых он несётся, и ещё четыре передних.
  • синтаксическое:
    • После союза «да» нет паузы, но знак ставится, поскольку вводное слово «видно» выделяется с двух сторон.
  • интонационное:
    • «Да. Да! Да?! Да…»
    • Можно произнести одно и то же слово по-разному, и смысл будет сильно различаться.

Теоретик логического, или смыслового направления, Ф. И. Буслаев, сформулировал назначение пунктуации следующим образом:

«Так как посредством языка одно лицо передаёт свои мысли и чувствования другому, то и знаки препинания имеют двоякое назначение:

  1. способствуют ясности в изложении мыслей, отделяя одно предложение от другого или одну часть его от другой, и
  2. выражают ощущения лица говорящего и его отношение к слушающему».

Во второй половине XX столетия наряду с этими традиционными направлениями наметилось и коммуникативное понимание роли пунктуации — «возможность подчёркивания в письменном тексте с помощью знаков препинания связующей значимости слова/группы слов». Решению коммуникативной задачи подчинена и основная функция пунктуации (традиционно понимаемой, как система графических неалфавитных знаков — знаков препинания, — участвующих в переводе устной речи в письменную) — при помощи членения и графической организации письменного текста «передать читающему смысл написанного таким, каким он воспроизводится пишущим»[источник не указан 2327 дней].

Виды высказываний

Логические высказывания принято подразделять на составные (или сложные) и элементарные. Составные логические высказывания — высказывания, содержащие логические постоянные. Составные высказывания строятся на основе других высказываний. Логическое значение сложного высказывания определяется логическим значением входящих в его состав высказываний и теми логическими постоянными, с помощью которых оно построено.

Элементарные логические высказывания — это высказывания, не относящиеся к составным. Примером элементарного высказывания может служить 5<7{\displaystyle 5<7}. Примером составного логического высказывания может служить если 5<7{\displaystyle 5<7}, то 5{\displaystyle 5} — чётное число.

Следствие

Логическая операция следования (импликация) — одна из простейших в математической логике. Она основана на единственной аксиоме — из правды не может следовать ложь.

  1. Е=1, Н=, поэтому Е -> Н = 1. Если пара влюблена, то они могут целоваться — правда.
  2. Е=0, Н=1, тогда Е -> Н = 1. Если пара не влюблена, то они могут целоваться — также может быть истиной.
  3. Е=0, Н=0, из этого Е -> Н = 1. Если пара не влюблена, то они и не целуются — тоже правда.
  4. Е=1, Н=0, результатом будет Е -> Н = 0. Если пара влюблена, то они не целуются — ложь.

Для облегчения выполнения математических действий также приведём таблицу истинности.

Импликация
Е х х о о
Н х о х
Е -> Н х о х х

Литература

  • Кондаков Н. И. Логический словарь / Горский Д. П.. — М.: Наука, 1971. — 656 с.
  • Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
  • Чупахин И. Я.,Бродский И. Н. Формальная логика. — Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1977. — 357 с.
  • Войшвилло Е. К., Дегтярев М. Г. Логика. — М.: ВЛАДОС-ПРЕСС, 2001. — 528 с. — ISBN 5-305-00001-7.
  • Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. — 2-е изд., стереотип.. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — 448 с. — ISBN 978-5-7695-4593-1.
  • Логика высказываний // Новая философская энциклопедия. — М., 2010. — Т. 2. — С. 415—418.

Более общий взгляд: «Algebræ Philosophicæ» Ричери

Перенесемся в 1761 год, когда появилась в печати «Algebræ philosophicæ in usum artis inveniendi» («Алгебра философии, для использования в искусстве открытия») Людовико Ричери. Как намекает название, Ричери ввел набор обозначений для лучшего выражения логических идей.


Как видно, две полукруглые дуги используются в различных комбинациях для представления логических идей. Например, символ, напоминающий греческую литеру , использовался для высказываний, которые признавались истинными, в то время как инвертированная версия символа использовалась для противоречивых высказываний. Далее в тексте встречается список пар символов для выражения противоположных идей в логике: сущее и несуществующее, положительные и отрицательные определения, определенное и неопределенное, возможность и невозможность, изменяемое и неизменное. Важнее всего, символы Ричери для сущего (aliquid) и несуществующего (nihil) напоминают современные символы для объединения () и пересечения (), соответственно. Кульминацией этой короткой статьи является логическая диаграмма, которая отслеживает возможные результаты любого объекта критического исследования.

В чисто символической форме Ричери предоставил своего рода бинарный поиск для философского исследования — действительно, это та самая алгебраическая философия, которая была обещана! В общем, дерево начинается так:

  • Любое утверждение либо невозможно (противоречиво, перевернутая в углу), либо возможно (непротиворечиво, в левом конце дерева);
  • Если утверждение возможно (), оно может быть либо детерминированным (доказано, нижняя ветвь), либо неопределенным (недоказанное, верхняя ветвь);

Следуя чуть дальше по дереву, мы видим, что любое возможное, детерминированное утверждение должно быть либо положительным, либо отрицательным. Также интересно, что Ричери рассматривал возможные неопределенные утверждения как либо определяемые (доказуемые), либо неопределимые (недоказуемые). В общей сложности «Algebræ Philosphicæ» Ричери занимает всего 16 страниц, причем многие из них состоят из символических представлений для различных высказываний. Если вам почудилось эхо Лейбница в этой статье, вы правы! Это не случайно: в своей работе Ричери специально упомянул «Dissertatio de Arte Combinatoria». В частности, мы можем видеть, как субъектно-предикатная форма предложения была перенесена в «Algebræ Philosphicæ».

Zeichenkunst in der Vernunftlehre Ламберта

Мы видим, что символы Ламберта являются более математическими и менее философскими, чем символы Ричери

В дополнение к заимствованию символов из математики, их значения легко узнаваемы для любого изучающего логику; например, обратите внимание на знаки равенства (), сложения (), разделения (), оппозиции (), универсальности () и особенности (). Идея здесь заключается в том, что весь анализ логических идей должен и может быть сведен к форме арифметики

В этом смысле подход Ламберта гораздо ближе к Лейбницу, поскольку он опирается на аналогию между логикой и арифметикой. (Также обратите внимание, что все трое различают универсальное и частное).

Формы высказываний

В логике предикатов высказывательной формой (формой высказывания, предикатом) называется неполное логическое высказывание, в котором один из объектов заменён предметной переменной. При подстановке вместо такой переменной какого-либо значения высказывательная форма превращается в высказывание. В качестве предметных переменных в естественном языке выступают общие имена, представляющие классы предметов и заменяемые в формализованных языках специальными символами. Форма сходна с высказыванием, однако она не истинна и не ложна (неопределенно-истинна), поскольку неизвестно, к чему относится утверждение или отрицание.

Форма высказывания требует дополнения, относится ли утверждение или отрицание в суждении ко всем или не ко всем предметам того класса, который представляет данное общее имя. Функцию таких указателей выполняют явно выраженные или подразумеваемые кванторы. Нельзя оценивать как истинное или ложное такую высказывательную форму, как Человек — справедлив. Приведённая фраза аналогична выражению y — справедлив. Из указанной формы можно получить высказывание, заменив общее имя единичным: Иванов — справедлив, или введя кванторы: Некоторые люди справедливы. Высказывания, использующие кванторы, выражают множественные — общие и частные — суждения.

Таблицы истинности для основных двоичных логических функций

Конъюнкция

(AND)

a{\displaystyle a} b{\displaystyle b} a∧b{\displaystyle a\land b}
{\displaystyle 0} {\displaystyle 0} {\displaystyle 0}
1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0} {\displaystyle 0}
{\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0}
1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1}
Дизъюнкция

(OR)

a{\displaystyle a} b{\displaystyle b} a∨b{\displaystyle a\lor b}
{\displaystyle 0} {\displaystyle 0} {\displaystyle 0}
1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1}
{\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1}
1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1}
Сложение по модулю 2

(XOR)

a{\displaystyle a} b{\displaystyle b} a⊕b{\displaystyle a\oplus b}
{\displaystyle 0} {\displaystyle 0} {\displaystyle 0}
1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1}
{\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1}
1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0}
Импликация
a{\displaystyle a} b{\displaystyle b} a→b{\displaystyle a\rightarrow b}
{\displaystyle 0} {\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1}
1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0} {\displaystyle 0}
{\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1}
1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1}
Эквиваленция
a{\displaystyle a} b{\displaystyle b} ab{\displaystyle a\leftrightarrow b}
{\displaystyle 0} {\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1}
1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0} {\displaystyle 0}
{\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0}
1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1}
Штрих Шеффера
a{\displaystyle a} b{\displaystyle b} a∣b{\displaystyle a\mid b}
{\displaystyle 0} {\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1}
1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1}
{\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1}
1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0}
Стрелка Пирса
a{\displaystyle a} b{\displaystyle b} a↓b{\displaystyle a\downarrow b}
{\displaystyle 0} {\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1}
1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0} {\displaystyle 0}
{\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0}
1{\displaystyle 1} 1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0}
Отрицание

(NOT)

a{\displaystyle a} ¬a{\displaystyle \neg a}
{\displaystyle 0} 1{\displaystyle 1}
1{\displaystyle 1} {\displaystyle 0}

В программировании:

  • Конъюнкция = AND = И = ∧{\displaystyle \land } = &
  • Дизъюнкция = OR = ИЛИ = ∨{\displaystyle \lor } = |
  • Сложение по модулю 2 = XOR = ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ = ⊕{\displaystyle \oplus } = ~
  • Отрицание = NOT = НЕ = ¬{\displaystyle \neg } = !

Тождественно истинные формулы (тавтологии)

Формула является тождественно истинной, если она истинна при любых значениях входящих в неё переменных (то есть, при любой интерпретации). Далее перечислены несколько широко известных примеров тождественно истинных формул логики высказываний:

законы де Моргана:

¬(p∨q)(¬p∧¬q){\displaystyle \neg (p\vee q)\leftrightarrow (\neg p\wedge \neg q)};
¬(p∧q)(¬p∨¬q){\displaystyle \neg (p\wedge q)\leftrightarrow (\neg p\vee \neg q)};

закон контрапозиции:

(p→q)(¬q→¬p){\displaystyle (p\rightarrow q)\leftrightarrow (\neg q\rightarrow \neg p)};

законы поглощения:

p∨(p∧q)p{\displaystyle p\vee (p\wedge q)\leftrightarrow p};
p∧(p∨q)p{\displaystyle p\wedge (p\vee q)\leftrightarrow p};

законы дистрибутивности:

p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r){\displaystyle p\wedge (q\vee r)\leftrightarrow (p\wedge q)\vee (p\wedge r)};
p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r){\displaystyle p\vee (q\wedge r)\leftrightarrow (p\vee q)\wedge (p\vee r)}.

С этим читают